..::(Info)::..

Karaśkiewicz Edmund - Zarys Teorii wektorów i tensorów
Format PDF

..::(Opis)::..

Rachunek wektorowy i tensorowy jest obecnie w powszechnym użyciu. Posługują się nim nie tylko matematycy i fizycy, ale także technicy. Krótki i przejrzysty zapis tensorowy pozwala na zwięzłe ujęcie wzorów i twierdzeń. Poza tym charakterystyczną cechą tego rachunku jest to, że wzory w przestrzeni trójwymiarowej oraz n-wymiarowej mają tę samą postać. Nie ma więc trudności przy przejściu z dobrze nam znanej przestrzeni trójwymiarowej do dowolnej przestrzeni n-wymiarowej. Z tej przyczyny pożądane jest, aby studenci uniwersytetów i politechnik jak najwcześniej zapoznali się z tym rachunkiem. Temu celowi ma służyć niniejszy podręcznik.

Treść podręcznika jest często przeplatana przykładami, które znacznie ułatwiają zrozumienie podanego materiału. Poza tym chodzi o nabycie wprawy w operowaniu tymi wielkościami, by przy rozwiązywaniu zagadnień nie mieć trudności w stosowaniu wektorów i tensorów. Dlatego znajdzie czytelnik w podręczniku wiele ćwiczeń. Część z nich ma na celu zdobycie wprawy w liczeniu, inne zaś dotyczą stosowania tego rachunku do różnych zagadnień z fizyki. Oczywiście, nie podano wszystkich, nawet istotnych zastosowań, gdyż podręcznik byłby za obszerny. Ale czytelnik, który sumiennie przyswoi sobie treść podręcznika, będzie w stanie stosować rachunek wektorowy i tensorowy do różnych zagadnień, z którymi siL zetknie podczas swej pracy naukowej.

Zapis w rachunku tensorowym nie jest jeszcze ujednolicony. Wybrano taki zapis, który byłby dla początkującego czytelnika najprostszy i najbardziej przejrzysty.

Podręcznik zawiera w zarysie wszystkie istotne zagadnienia z rachunku wektorowego i tensorowego. Po przerobieniu podanego tu materiału czytelnik będzie mógł bez trudu pogłębić swe wiadomości przy pomocy podręczników podanych w bibliografii.

Okładka 1
SPIS RZECZY 5
Przedmowa do wydania I 9
Przedmowa do wydania II 10
Rozdział I Algebra wektorów 11
§ 1. Pojęcie wektora 11
1. Skalary i wektory 11
2. Wektory swobodne i związane 12
3. Oznaczanie wektorów i ich miar. Wektor jednostkowy 13
4. Dodawanie i odejmowanie wektorów 13
5. Mnożenie wektora przez liczbę 15
6. Zależność liniowa wektorów 16
Przykłady 24
Ćwiczenia I 31
§ 2. Iloczyn skalarny 32
7. Kąty między wektorami oraz między wektorami a osią 32
8. Rzut wektora 33
9. Iloczyn skalarny wektorów 34
10. Praca jako iloczyn skalarny wektorów 37
11. Podstawa jednostkowa prostokątna 38
12. Składowe wektora 40
13.Iloczyn skalamy dwóch wektorów wyrażony przez współrzędne 42
14. Obrót i odbicie lustrzane układów współrzędnych 43
15. Iloczyn skalarny jako niezmiennik 47
16. Ortogonalne transformacje liniowe 48
17. Podwójne znaczenie transformacji wektora 51
18. Transformacje złożone 52
19. Własności transformacji ortogonalnych 54
20. Kąty Eulera 57
21. Ruchy kuli ziemskiej 61
Przykłady 61
Ćwiczenia II 69
§ 3. Iloczyn wektorowy 71
22. Definicja iloczynu wektorowego 71
23. Wektory osiowe i biegunowe 72
24. Własności iloczynu wektorowego 75
25. Iloczyn wektorowy wyrażony przez współrzędne 78
26. Zmiana iloczynu wektorowego przy transformacji układu 79
27. Moment obrotowy 81
28. Prędkość liniowa w ruchu obrotowym 81
29. Zestawienie własności iloczynów 83
§ 4. Iloczyny wielokrotne 84
30. Iloczyn mieszany 84
31. Iloczyn mieszany wyrażony przez współrzędne 86
32. Wyznacznik Grama 87
33 Podwójny iloczyn wektorowy 89
34. Poczwórne iloczyny wektorowe 90
Przykłady 91
Ćwiczenia III 96
35. Zastosowanie poznanych wzorów do geometrii, trygonometrii i mechaniki 97
Przykłady 107
Ćwiczenia IV 120
§ 5. Funkcje liniowe wektora 122
36. Podstawy odwrotne 122
37. Zastosowanie układów odwrotnych 124
Przykłady 124
Ćwiczenia V 125
38. Odwzorowanie powinowate 126
39. Transformacje układu 127
40. Jednorodna funkcja liniowa wektora 129
41. Własności liniowej funkcji wektora, określającej odwzorowanie afiniczne 130
42. Redukcja funkcji liniowej Wektora 133
43. Iloczyn diadyczny i diady 134
44. Postać dziewiątkowa diady 136
45. Diady symetryczne 139
46. Diady antysymetryczne 140
47. Rozkład diady na część symetryczną i antysymetryczną 141
48. Skalar i wektor diady 142
49. Iloczyn skalarny diad 143
50. Iloczyn wektorowy diady przez wektor 144
51. Podwójny iloczyn skalarny 145
Przykłady 146
Ćwiczenia VI 150
Rozdział II. Analiza wektorów 152
§ 6. Różniczkowanie i całkowanie wektorów 52
52. Definicja różniczkowania i całkowania wektorów ze względu na pewien parametr 152
53. Pochodne sum i iloczynów 156
54. Obrót podstawy jednostkowej 160
55. Pochodne cząstkowe wektora 162
Przykłady 163
Ćwiczenia VII 166
§ 7. Geometria krzywych 166
56.Podstawa towarzysząca 166
57. Płaszczyzna ściśle styczna i normalna główna 167
58. Wektor Darboux 168
59.Wzory Serreta - Freneta 171
60. Wzory na pierwszą i drugą krzywiznę 172
61. Ruch punktu po krzywej 174
Przykłady 175
Ćwiczenia VIII 180
§ 8. Funkcje wektorów wielu zmiennych 181
62. Współrzędne krzywoliniowe na powierzchni 181
63. Pierwsza podstawowa forma różniczkowa powierzchni 182
64. Druga podstawowa forma różniczkowa powierzchni 184
65. Krzywizna normalna krzywej na powierzchni 185
66. Współrzędne krzywoliniowe w przestrzeni 190
67. Element objętościowy 191
Przykłady 192
Ćwiczenia IX 202
Rozdział III. Analiza pól 205
§ 9. Funkcje pola 205
68. Definicja pola 205
69. Pole skalarne 205
70. Gradient 207
71. Gradient jako niezmiennik 208
72. Pochodna funkcji pola skalarnego wzdłuż danego kierunku 210
73. Pochodna funkcji pola wektorowego wzdłuż danego kierunku 212
74. Dywergencja i rotacja 213
Przykłady 214
Ćwiczenia X 219
§ 10. Operator nabla 220
75. Formalny rachunek symbolem nabla 220
76. Stosowanie operatora nabla dwukrotnie 223
77. Wzory dla promienia wodzącego r 224
Przykłady 226
Ćwiczenia XI 230
§ 11. Dywergencja 231
78. Wydajność źródeł 231
79. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego 234
80. Wzory Greena 236
81. Dywergencja jako niezmiennik 237
82. Pole bezźródłowe 238
83. Niezmienniki pola 240
Przykłady 242
Ćwiczenia XII 249
§ 12. Rotacja 251
84. Rotacja pola prędkości 251
85. Całki krzywoliniowe 254
86. Własności całek krzywoliniowych 255
87. Zachowawcze pole sił. Energia potencjalna 257
88. Całkowanie na płaszczyźnie 258
89. Twierdzenie Stokesa 262
Przykłady 266
Ćwiczenia XIII 273
§ 13. Wektory bezwirowe i solenoidalne 275
90. Obszary jedno i wielospójne 275
91. Wektory bezwirowe 276
92. Potencjał prędkości 277
93. Wektor solenoidalny 277
94. Potencjał wektorowy 278
95. Warunki całkowalności 279
96. Całki krzywoliniowe w obszarach wielospójnych 280
97. Potencjał grawitacyjny 282
98. Potencjał w punkcie położonym wewnątrz ciała 287
99 Równanie Poissona 288
100. Rozwiązanie równania Poissona 289
101. Twierdzenie o jednoznaczności pola wektorowego 292
102. Wyznaczanie pola wektorowego 292
102. Wyznaczanie pola wektorowego z jego źródeł i wirów 293
Przykłady 296
Ćwiczenia XIV 304
§ 14. Funkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych 305
103. Współrzędne krzywoliniowe 305
104. Układ krzywoliniowy prostokątny 305
105. Współrzędne walcowe 309
106.Współrzędne sferyczne 310
107.Gradient dywergencja i rotacja we współrzędnych krzywoliniowych 311
Przykłady 314
Ćwiczenia XV 318
108. Funkcje harmoniczne 319
109. Rozwiązanie równania Laplace’a w dwu wymiarach 323
110. Rozwiązanie równania Laplace’a w trzech wymiarach 327
111. Równanie Poissona dla punktowego rozkładu mas 332
112. Teoria potencjału w elektrostatyce 335
113. Dipol i warstwa podwójna 338
114. Przewodniki elektryczne 342
115. Dielektryki 343
Przykłady 344
Ćwiczenia XVI 351
Rozdział IV. Wektory i tensory w afinicznej przestrzeni wektorowej 353
§ 15. Wektory w przestrzeni wektorowej 353
116. Uogólnienie pojęcia przestrzeni 353
117. Przestrzeń metryczna i wektorowa 353
118. Pewniki afinicznej przestrzeni wektorowej 355
119. Transformacja układów prostoliniowych 358
120. Wektory kontrawariantne i kowariatne 362
121. Transformacje układów krzywoliniowych 363
§ 16. Tensory w afinicznej przestrzeni wektorowej 365
122. Pojęcie obiektu geometrycznego 365
123. Wektory i tensory o składowych kontrawariantnych 366
124. Wektory i tensory o składowych kowariantnych 369
125. Tensory o składowych mieszanych 370
126. Podstawowa własność tensorów 373
Przykłady 373
Ćwiczenia XVII 376
§ 17. Działania na tensorach 378
127. Dodawanie tensorów 378
128. Mnożenie tensora przez skalar 379
129. Iloczyn zewnętrzny tensorów 380
130. Kontrakcja tensorów 381
131. Iloczyn wewnętrzny tensorów 382
132. Warunki wystarczające na to, by obiekt geometryczny był tensorem 384
133. Tensory symetryczne i antysymetryczne 386
134. Iloczyny zewnętrzne wektorów. Poliwektory 390
135. Pseudotensory 391
136. Pojemność i gęstość skalarna 393
137. Pojemność i gęstość tensorowa 397
Przykłady 398
Ćwiczenia XVIII 399
Rozdział V. Wektory i tensory w metrycznej przestrzeni Euklidesa 400
§ 18. Metryka w przestrzeni Euklidesa 400
138. Iloczyn skalarny 400
139. Tensor metryczny 401
140. Własności tensora metrycznego 403
141. Podstawowa forma kwadratowa. Długość łuku krzywej 405
142. Wyznacznik tensora metrycznego. Przestrzeń Euklidesa 406
143. Składowe wektora kowariantnego 407
144. Rzuty wektora na dany kierunek 411
145. Podwyższanie i obniżanie wskaźników 411
146. Transformacja wyznacznika g przy zmianie układu współrzędnych 413
Przykłady 415
Ćwiczenia XIX 417
§ 19. Analiza tensorów 418
147. Pochodna pola wektorów wzdłuż krzywej w przestrzeni euklidesowej w układzie prostoliniowym 418
148. Pochodna wektora w układzie krzywoliniowym 419
149. Symbole Chrisioffela 422
150. Pochodna absolutna tensorów 427
151. Pochodna kowariantna 428
152. Pochodna kowariantnft złożonych wyrażeń tensorowych 433
153. Kontrakcja symboli Christoffda 435
154. Pochodna kowariantna pseudotensorów 436
155. Operatory różniczkowe 438
156. Fizyczne składowe tensorów 441
Przykłady 448
Ćwiczenia XX 450
Rozdział VI. Wektory i tensory w przestrzeni Riemanna 451
§ 20. Tensory w przestrzeni Riemanna 451
157. Tensor metryczny 451
158. Działania na tensorach w przestrzeni Riemanna 454
159. Analiza tensorów w przestrzeni Riemanna 454
160. Przestrzeń Euklidesa styczna do przestrzeni Riemanna 456
§ 21. Przeniesienie równoległe 458
161. Wektory równoległe w przestrzeni Euklidesa i w przestrzeni Riemanna 458
162. Równanie geodetyki 459
163. Długości wektorów i kąty w przestrzeni Riemanna przy przeniesieniu równoległym 466
164. Stacjonarna długość linii geodezyjnej 469
§ 22. Tensor krzywizny 473
165. Krzywizna przestrzeni 473
166. Krzywizna przestrzeni Riemanna 475
167. Tensor krzywizny Riemanna Christoffela 478
168. Składowe kowariantne tensora krzywizny 479
169. Tensor Ricciego-Einsteina 481
170. Tożsamość Bianchiego 482
Przykłady 483
Ćwiczenia XXI 486
Odpowiedzi do ćwiczeń 487
Bibliografia 502
Skorowidz 503